Suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Așa sună una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, pe care mulți am învățat-o ca pe o poezie în gimnaziu: a²+ b² = c²
Teorema lui Pitagora a primit de-a lungul timpului numeroase demonstrații, dintre care unele geometrice, foarte frumoase. Acestea au nu doar avantajul de a le oferi copiilor o imagine care li se imprimă ușor în minte, cât mai ales de a putea fi făcute chiar de ei pe baza cunoștințelor elementare pe care le dețin deja. Astfel, copiii nu sunt nevoiți să memoreze formula fără să o înțeleagă, iar în eventualitatea în care o uită au la îndemână o cale rapidă pentru a o determina din nou.
Există pe YouTube o serie de animații și de experimente filmate, în care copiii pot vedea imediat cum suma ariilor pătratelor care au ca laturi catetele a și b este egală cu aria pătratului care are ca latură ipotenuza c. Acest lucru poate fi făcut, de exemplu, împărțind pătratele în pătrate mai mici, colorate, egale ca dimensiune. Copiii le pot număra și pot constata ei înșiși relația de egalitate.
Într-un experiment de pe YouTube, vedem o dovadă experimentală că Teorema lui Pitagora este adevărată. Ea este făcută cu ajutorul apei și ea poate reprezenta un bun punct de plecare al unei lecții despre Teorema lui Pitagora, pe care profesorul o poate începe cu o întrebare. De ce credeți că se întâmplă asta? Ceea ce văd elevii că se petrece în experiment îi nedumerește/ contrariază și îi face curioși să afle de ce se întâmplă așa lucrurile. Mai mult, își vor reaminti cu plăcere experimentul și peste 10-20 de ani.
Urmează pasul 2 – demonstrarea Teoremei lui Pitagora. Un exemplu interesant de demonstrație este cel găsit într-un manual german de matematică de clasa a IX-a, publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg.
Se construiește un pătrat cu latura de lungime a + b și se desenează apoi patru triunghiuri dreptunghice, cu catetele a și b ca în figura din mijloc. Plecând de la această imagine, copii sunt puși să se gândească cum ar putea demonstra Teorema lui Pitagora mutând poziția triunghiurilor; desigur, nu li se arată imaginea din dreapta când li se cere acest lucru.
Mai întâi, ei observa că spațiul alb care rămâne în figura din mijloc este reprezentat de un patrulater cu laturile egale, de lungime c. Arătăm că este vorba despre un pătrat, demonstrând că are un unghi de 90 de grade – este vorba despre unghiul δ. Astfel, scădem din unghiul de 180 de grade suma unghiurilor α și β, despre care știm (pe baza proprietăților triunghiului dreptunghic) că este de 90 de grade. Se pot face demonstrații similare și pentru celelalte 3 unghiuri ale patrulaterului cu latura c. Prin urmare, acesta este un pătrat, iar suprafața sa este c².
Ulterior, elevii trebuie să se gândească cum ar putea să mute triunghiurile a.i. să rezulte 2 pătrate de laturi a și b. După ce se translatează 3 din cele 4 triunghiuri dreptunghice, ele vor ajunge în pozițiile pe care le vedem în cea de-a treia figură. Vom obține astfel două pătrate mai mici, având ca laturi cateta a, respectiv b. Suprafața totală a spațiului alb rămâne aceeași ca în figura din mijloc. De această dată nu vom mai avea însă un singur pătrat, ci două, cu suprafețe mai mici. Există și alte moduri de translatare a triunghiurilor a.i. să se obțină cele 2 pătrate de laturi a și b.
Așadar suma suprafețelor celor două pătrate, a²+ b², este egală cu suprafața pătratului mare, c². Chiar dacă unii elevi nu vor reuși să găsească singuri soluția, ei o vor înțelege când le va fi prezentată de profesor.
În Germania, lecția despre Teorema lui Pitagora este predată conform paradigmei constructiviste. Pentru a o demonstra, elevii pleacă de la ceea ce știau de dinainte – cum se determină aria pătratului. Astfel, ei nu vor trebui să memoreze că a² + b² = c², fără să o înțeleagă (cum se întâmplă în cazul unora dintre ei). Dacă vor uita formula peste ani de zile, vor putea să ajungă într-un mod logic și intuitiv la ea.
Cum este abordată Teorema lui Pitagora în România?
Imaginea folosită în manualul de matematică, de clasa a VII-a, publicat de Intuitext, are legătură cu viața reală – o scară sprijinită de o casă, pe care niște copii trebuie să se urce pentru a ajunge la un cuib de păsări. Elevii sunt puși să afle lungimea scării (ipotenuza unui triunghi dreptunghic) știind cele 2 catete. Acest mod de a introduce Teorema lui Pitagora nu generează însă un conflict cognitiv în mintea elevului. Sara reușește să calculeze rapid lungimea scării, folosind formula făcută în clasa a VI-a (c² = a² + b²). În acest manual, se face și demonstrația teoremei – pentru aceasta se pornește de la teorema catetei pe care copiii trebuie să și-o amintească din clasa a VI-a: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei.
Acest mod de a face demonstrația nu este unul intuitiv pentru copii și se bazează din nou pe aplicarea unei formule memorate (adică avem de-a face tot cu calcul algebric).
În manualul de la Editura Litera, sunt folosite figuri asemănătoare cu cele din manualul german, prezentate mai sus, copiilor le este lăsat puțin spațiu pentru a raționa individual. Mai mult, raționamentul este complicat și se merge tot pe calcul algebric. Pașii raționamentului sunt făcuți acum în sens invers, începând cu triunghiurile deja translatate (a se vedea imaginea din dreapta din manualul german). Dacă elevii urmăresc calculul din filmulețul de la pagina 201 a manualului, există riscul pentru o bună parte dintre ei să piardă cu ușurință firul explicației.
Remarcăm în ultima vreme efortul mai multor autori de manuale de matematică din România de a pleca de la situații din viața reală sau de a se raporta la acestea, însă adeseori demersurile au loc la un nivel formal. Acest lucru se întâmplă pentru că nu s-au făcut suficienți pași pentru a schimba semnificativ paradigma utilizată în predarea matematicii în gimnaziu (în loc să devină inductive, cum se întâmplă în tot mai multe țări europene, abordările la noi sunt încă preponderent deductive și calculul algebric are în continuare o pondere importantă). Prin urmare, pentru un procent semnificativ dintre elevi, matematica înseamnă memorarea și reproducerea formulelor de calcul și aplicarea algoritmilor de rezolvare de probleme. Or, matematica ar putea să contribuie mai mult în a le dezvolta copiilor o gândire structurată și logică.
