„Scoateți o foaie de hârtie” este propoziția care a stârnit anxietatea multor elevi, care știau că urmează o temută lucrare de control. Însă, cu ghidajul potrivit, foaia ținută la începutul orei de un copil se transformă într-o veritabilă fundație pentru învățare. În școlile din Germania, profesorii predau matematica pornind de la înțelegerea intuitivă pe care elevii o au asupra noțiunilor pe care urmează să le studieze.
La lecția despre mediatoare, de pildă, înainte să enunțe definiția acesteia, profesorii le cer copiilor să îndoaie o foaie de hârtie pe care este trasat un segment de dreaptă, suprapunând punctele A și B.
Până să afle că mediatoarea poate fi definită ca locul geometric al punctelor egal depărtate de extremitățile segmentului, copiii capătă o primă înțelegere asupra noțiunii privind la acea cută a hârtiei perpendiculară pe segment.
Acest pas are o importanță uriașă în procesul de învățare pentru că în timpul școlii primare și gimnaziale gândirea copiilor este ancorată în concret, este intuitivă și spațială, iar o parte dintre elevi au o problemă cu înțelegerea unora dintre noțiuni, care li se par abstracte.
Cu o abordare precum cea de mai sus, procentul celor care înțeleg ce este o mediatoare crește.
În faza următoare, copiii au de construit ei înșiși o mediatoare, o activitate pe care o vor avea de făcut de multe ori în timpul școlii, fără a mai îndoi, desigur, foaia.
Cu ajutorul unui compas, al cărui vârf se află în punctul A, copiii trasează un cerc cu raza mai mare decât jumătatea segmentului AB. Apoi, realizează un cerc similar așezând vârful compasului în punctul B. Iar atunci când unesc punctele de intersecție ale celor două cercuri, copiii obțin mediatoarea.
În manualul de matematică pentru clasa a VII-a publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg din Germania, lecția despre bisectoare este predată într-un mod similar celei despre mediatoare. Totul pornește din nou de la o foaie îndoită de hârtie.
Să împarți unghiului în două părți egale în acest mod intuitiv (trebuie suprapuse cele 2 laturi ale unghiului) este o abordare mult mai eficientă decât să-l auzi pur și simplu pe profesor dând definiția bisectoarei și să-l privești desenând-o pe tablă. Apoi, elevii descoperă o proprietate importantă a bisectoarei, că orice punct de pe aceasta este la distanță egală de laturile unghiului. Pentru a afla poziția bisectoarei, elevul trasează 3 arce de cerc cu ajutorul unui compas – întâi pune vârful compasului în S, iar apoi în punctele A și B. Unind punctele de intersecție ale celor 2 arce de cerc de culoare roșie, elevul află poziția poziția bisectoarei.
În manualul în care se află amintitele lecții, abordarea este constructivistă și pleacă de la cunoașterea anterioară a elevului și de la ce poate el percepe și înțelege în mod intuitiv. Există o preocupare serioasă de a evita oferirea de soluții care trebuie memorate de către elevi (care sunt pașii pe care ei trebuie să-i urmeze în diferite situații) și de a-i încuraja să găsească soluții folosindu-și gândirea intuitivă și cea spațială. Aceasta din urmă stă și la baza rezolvării unor probleme complexe. O persoană care are capacități bune de problem solving are de obicei bine dezvoltată și gândirea figurativă și abilitatea de a-și construi hărți mentale. Chiar dacă cineva e capabil să gândească abstract, el are, adesea în spate, un mecanism de a-și construi reprezentări intuitive.
În acest mod de predare a mediatoarei și bisectoarei un rol important îl are locul geometric, prea puțin exploatat în școlile de la noi, deși cu ajutorul său poți rezolva și probleme practice, cum ar fi măsurarea rapidă a înălțimii unei stânci sau a turlei unei biserici.
Să spunem că te afli în punctul A. Dacă te uiți la vârful turlei, poți observa că dreapta pe care se află acesta și ochiul tău formează cu orizontala un unghi alfa. Dacă mergi câțiva pași mai spre biserică (să zicem 25 de metri), până în punctul B, dreapta care unește ochiul tău și vârful turlei bisericii va forma un unghi beta.
Trasăm apoi la scară un desen pe foaia de caiet. Astfel, dacă am parcurs 25 de metri din punctul A în punctul B, pe foaia de hârtie vom avea 2,5 cm (scara este de 1:1000). Din punctul A trasăm un segment de dreaptă care face unghiul alfa cu segmentul AB, iar din B trasăm un segment de dreaptă care face un unghi beta cu dreapta pe care se află AB. În punctul de intersecție al celor 2 segmente de dreaptă se află vârful turlei. Coborâm apoi perpendiculara din acest punct pe dreapta pe care se află și segmentul AB. Măsurând segmentul rezultat (cel de culoare roșie) și ținând cont de scara folosită, putem calcula înălțimea turlei, h (este de 47 de metri). Notă: pentru a nu complica discuția, nu s-a luat în calcul înălțimea la care se află ochiul observatorului față de suprafața pământului.
În manualul de matematică pentru clasa a VII-a publicat de Ernst Klett Verlag și utilizat în landul Baden-Württemberg din Germania, noțiunile sunt introduse pornind de la exemple din viața reală. Când vorbesc despre cercul înscris într-un triunghi, profesorii le cer elevilor să taie dintr-o bucată triunghiulară de material cea mai mare bucată rotundă pe care o pot scoate pentru a o pune sub un ghiveci de flori.
Or, asta înseamnă să traseze cerul înscris în acel triunghi. Pentru a descoperi singuri unde se află centrul acestui cerc, elevii desenează mai întâi un cerc pe o foaie. Apoi, trasează laturile unui triunghi, care sunt tangente la cerc. Cele 3 segmente verzi sunt egale, fiind raze ale cercului. Or, dacă avem puncte egal depărtate de laturile unui unghi, alfa, atunci ele se află pe bisectoarea acelui unghi. La fel stau lucrurile pentru unghiurile beta și gamma. Prin urmare, centrul cercului înscris se află la intersecția bisectoarelor celor 3 unghiuri. Astfel, vedem că sarcina găsirii centrul cercului înscris într-un triunghi se poate rezolva mai intuitiv cu ajutorul noțiunii de locul geometric.
Pentru a afla unde se situează centrul cercului circumscris unui triunghi, copiii au de aflat unde este punctul în care mijlocul unui vapor, care străbate un canal, va fi la distanță egală de trei faruri.
Procedând într-un mod similar, elevii pot afla singuri că centrul cercului circumscris triunghiului se află la intersecția mediatoarelor celor 3 laturi.
O astfel de abordare a matematicii îi ajută pe copii să înțeleagă logica din spatele regulilor pe care trebuie să le aplice. Pentru că miza principală nu este aceea de a-i ajuta să devină buni la a utiliza proceduri, de multe ori fără să le înțeleagă, ci de a-i învăța să găsească soluții la probleme noi cu care se pot confrunta în viața de zi cu zi .
